Question

2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE⊥DH于E，BF⊥AE于F，CG⊥BF于F，DH⊥CG于H，且∠ABF=∠BCG=∠CDH=∠DAE=30°．
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）求正方形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）用垂直于同一条直线的两直线平行，从而得出四边形EFGH是平行四边形，再用一个角是直角，得出矩形，用全等三角形的性质，得出邻边相等即可得出正方形；
（2）用含30°的直角三角形的性质求出AF，AE，即可求出正方形EFGH的边长，即可．

解答 解：（1）∵AE⊥DH，DH⊥CG，
∴AE∥CG，
同理：BF∥DH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AE⊥DH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
在△ABF和△ADE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠DAE}\\{∠AFB=∠AED=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=DE，BF=DE，
∴FG=FE，
∴矩形EFGH是正方形
（2）在Rt△ABF中，∠ABF=30°，AB=2，
∴AF=1，BF=$\sqrt{3}$，
同理：AE=$\sqrt{3}$，
∴EF=AE-AF=$\sqrt{3}$-1，
∴正方形EFGH的面积=EF2=（$\sqrt{3}$-1）²=4-2$\sqrt{3}$．

点评 此题是正方形的判定和性质，主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，平行线的判定，正方形的面积公式，判断出四边形EFGH是正方形是解本题的关键．