Question

（2003•南京）如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点M、N．
（1）求M、N两点的坐标；
（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=-x+4相切，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：第一问简单，已知直线解析式，易求M，N点坐标；
由题意知点P在坐标轴上，说的很模糊，所以要分类讨论，再根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标．
解答：解：（1）当x=0时，y=4，
当y=0时，-x+4=0∴x=3．
∴M（3，0），N（0，4）．

（2）①当P₁点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P₁与直线y=-x+4相切于点A，
连接P₁A，则P₁A⊥MN，∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，∴
在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5．
又∵，∴P₁N=4，
∴P₁点坐标是（0，0）；
②当P₂点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P₂点坐标是（0，0）；
③当P₃点在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P₃与直线y=-x+4上切于点B，连接P₃B．
则P₃B⊥MN，∴OA∥P₃B．
∵OA=P₃B，∴P₃M=OM=3，∴OP₃=6．
∴P₃点坐标是（6，0）；
④当P₄点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P₄N=ON=4．
∴OP₄=8，∴P₄点坐标是（0，8）；
综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）．
点评：此题考查一次函数的基本性质及圆的性质，把直线与圆连接起来，不免有相切的关系，还考查相似三角形的性质及分类讨论的思想．