Question

已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE，交⊙O于D．
（1）求证：DC=BC；
（2）若DC：AB=3：5，求sin∠CAD的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥CE，而AE⊥CE，则OC∥AE，根据平行线的性质得∠1=∠3，而∠1=∠2，则∠2=∠3，根据圆周角定理得

CD

=

BC

，即可得到DC=BC；
（2）由于BC=DC，DC：AB=3：5，则BC：AB=3：5，根据圆周角定理由AB为直径得到∠ACB=90°，则利用正弦的定义得sin∠2=

BC

AB

=

3

5

，即可得到sin∠CAE=

3

5

．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵CE切⊙O于C，
∴OC⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，
而OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴

CD

=

BC

，
∴DC=BC；

（2）解：∵BC=DC，DC：AB=3：5，
∴BC：AB=3：5，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠2=

BC

AB

=

3

5

，
而∠2=∠3，
∴sin∠3=

3

5

，
即sin∠CAE=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理．