Question

24、已知抛物线m：y=ax²+bx+c （a≠0） 与x轴交于A、B两点（点A在左），与y轴交于点C，顶点为M，抛物线上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表：

x	…	-2	0	2	3	…
y	…	5	-3	-3	0	…

（1）根据表中的各对对应值，请写出三条与上述抛物线m有关（不能直接出现表中各对对应值）的不同类型的正确结论；
（2）若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的解析式，并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；
（3）若抛物线n的顶点为N，与x轴的交点为E、F（点E、F分别与点A、B对应），试问四边形NFMB是何种特殊四边形？并说明其理由．

Answer 1

分析：（1）取三对对应的x，y值代入y=ax²+bx+c，求得函数的解析式，问题的解．
（2）若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°得n，则m和n关于原点O成中心对称，利用中心对称的性质问题的解．
（3）有图形可知原点O是NM的中点，也是FB的中点．即NM，FB两条对角线相互平分，所以NFMB的形状可判定．

解答：解：（1）①抛物线开口向上；
②抛物线的对称轴为x=1；
③抛物线的顶点M（1，-4）等．

（2）抛物线m，n如图1所示，并易得
A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
设抛物线m的解析式为y=a（x+1）（x-3），
已知抛物线过C（0，-3），则有：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线m的解析式为：y=x²-2x-3．
若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°得n，则m和n关于原点O成中心对称，
∴抛物线n的顶点是N（-1，4），和x轴的交点坐标是E（1，0），F（-3，0），
∴抛物线n的解析式为：y=-（x+1）²+4，
即：y=-x²-2x+3；

（3）如图2，四边形NFMB是平行四边形．
理由：
∵N与M关于原点中心对称，
∴原点O是NM的中点，同理，原点O也是FB的中点．
∴四边形NFMB是平行四边形．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数图象的性质，函数图象上点的坐标意义、图象关于原点成中心对称解析式的求解，称综合性强．