Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：
（1）△CDE是等腰三角形；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB•CE．

Answer 1

分析 （1）首先根据四边形ABDE为⊙O的内接四边形，判断出∠AED+∠ABC=180°，进而判断出∠DEC=∠ABC；然后根据AB=AC，判断出∠ABC=∠C，所以∠DEC=∠C，DE=DC，据此判断出△DEC为等腰三角形即可；
（2）首先根据∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，可得∠CBE=∠CAD；然后根据∠BCE=∠ACD，可得△BEC∽△ADC；据此解答即可；
（3）首先根据△BEC∽△ADC，可得$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}$，即CD•BC=AC•CE；然后根据AB是⊙O的直径，判断出∠ADB=90°，进而判断出CD=$\frac{1}{2}$BC，CD•BC=$\frac{1}{2}$BC•BC=$\frac{1}{2}$BC²；最后根据AB=AC，判断出BC²=2AB•CE即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABC=180°，
又∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠ABC；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
即△DEC为等腰三角形．
（2）∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD．
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
（3）根据△BEC∽△ADC，
可得$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}$，
即CD•BC=AC•CE；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高；
又∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CD•BC=$\frac{1}{2}$BC•BC=$\frac{1}{2}$BC²；
∵AB=AC，
∴AC•CE=AB•CE．
∴$\frac{1}{2}$BC²=AB•CE，
即BC²=2AB•CE．

点评 （1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
（2）此题还考查了圆的内接四边形的性质，以及等腰三角形的性质，要熟练掌握，