Question

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么，△DEF的面积等于

 

．

Answer 1

分析：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．求证四边形NBME是正方形，设NE=x₁，根据S_{四边形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，解得x₁=

12

7

；设BF=x₂．根据S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，解得x₂=

4

3

，同理解得，x₃=

3

2

，然后利用∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE，将所得数值代入即可．

解答：解：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．
设NE=x₁，
∵BE平分∠B，且∠B=9O°，
∴四边形NBME是正方形，
则S_{四边形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，
则x₁²+

1

2

x₁（4-x₁）+

1

2

x₁（3-x₁）=

1

2

×12，
解得，x₁=

12

7

；
设BF=x₂．根据CF是∠C平分线，可得△QFC≌△BFC，
则S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，
则

1

2

x₂×1+2（

1

2

x₂×4）=

1

2

×12，
解得，x₂=

4

3

，
则AF=AB-x₂=

5

3

；
设BD=x₃，
同理解得，x₃=

3

2

，
则CD=4-

3

2

=

5

2

，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE
=

1

2

AB•BC-

1

2

AF•NE-

1

2

BF•FD-

1

2

CD•EM
=6-

1

2

（

5

3

×

12

7

）-

1

2

（

4

3

×

3

2

）-

1

2

（

5

2

×

12

7

）
=

10

7

．
故答案为：

10

7

．

点评：本题主要考查学生对角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识点的灵活运用，此题涉及到的知识点较多，需要做多条辅助线，计算步骤繁琐，要特别仔细认真，稍有疏忽就出错，属于难题．