(满分13分)如图11,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点B、C ;抛物线经过B、C两点,并与轴交于另一点A.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)设是(1)所得抛物线上的一个动点,过点P作直线轴于点M,交直线BC于点N .
① 若点P在第一象限内.试问:线段PN的长度是否存在最大值 ?若存在,求出它的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由;
② 求以BC为底边的等腰△BPC的面积.
(1)
(2)① ②
解析:(1)由于直线经过B、C两点,令y=0得=3;令=0,得y=3
∴B(3,0),C(0,3) ……1分
∵点B、C在抛物线上,于是得
……2分
解得b=2,c=3 ……3分
∴所求函数关系式为 ……4分
(2)①∵点P(,y)在抛物线上,且PN⊥x轴,
∴设点P的坐标为(, ) ……5分
同理可设点N的坐标为(,) ……6分
又点P在第一象限,
∴PN=PM-NM
=()-()
=
= ……7分
∴当时,
线段PN的长度的最大值为. ……8分
②解法一:
由题意知,点P在线段BC的垂直平分线上,又由①知,OB=OC
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线,
∴设点P的坐标为
又点P在抛物线上,于是有 ∴ …9分
解得 ……10分
∴点P的坐标为: 或 …11分
若点P的坐标为 ,此时点P在第一象限,在Rt△OMP和Rt△BOC中, ,OB=OC=3
若点P的坐标为 , 此时点P在第三象限,
则
……13分
解法二:由题意知,点P在线段BC的垂直平分线上,
又由①知,OB=OC
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线,
∴设点P的坐标为
又点P在抛物线上,于是有
∴ ……9分
解得 ……10分
∴点P的坐标为:
或 …11分
若点P的坐标为,此时点P在第一象限,在Rt△OMP和Rt△BOC中,
,OB=OC=3
若点P的坐标为 , 此时点P在第三象限,(与解法一相同)……13分
当点P在第一象限时,△BPC面积其它解法有:
①,BC=
②
(本答案仅供参考)
科目:初中数学 来源: 题型:
(11·漳州)(满分13分)如图,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD.
(1)填空:点C的坐标是(_ ▲ ,_ ▲ ),
点D的坐标是(_ ▲ ,_ ▲ );
(2)设直线CD与AB交于点M,求线段BM的长;
(3)在y轴上是否存在点P,使得△BMP是等腰三角形?若存在,
请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
(本题满分13分)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴ 求证:△AMB≌△ENB;
⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2011年初中毕业升学考试(福建泉州卷)数学 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐
标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
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科目:初中数学 来源:2010年高级中等学校招生全国统一考试数学卷(云南红河) 题型:解答题
(满分13分)如图11,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点B、C ;抛物线经过B、C两点,并与轴交于另一点A.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)设是(1)所得抛物线上的一个动点,过点P作直线轴于点M,交直线BC于点N .
① 若点P在第一象限内.试问:线段PN的长度是否存在最大值 ?若存在,求出它的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由;
② 求以BC为底边的等腰△BPC的面积.
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