Question

【题目】如图，直线l1：分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l2：经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE．

(1)当点C的坐标为时，①求直线l2的函数表达式；②求证：AE平分；

(2)问：是否存在点C，使是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①；②答案见解析；（2）存在点C使是以CE为一腰的等腰三角形, 点C的坐标为(3,0)或(8,0).

【解析】

(1)①由点C的坐标，利用待定系数法即可求出b值，此题得解；

②利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、E的坐标，利用勾股定理以及两点间的距离即可求出AC=AB，由正切的定义即可得出∠ABO=∠ACD，结合公共角即可利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABO≌△ACD，从而得出AO=AD、∠ADC=∠AOB=90°，再利用全等直角三角形的判定定理HL即可证出Rt△ADE≌Rt△AOE，根据全等三角形的性质可找出∠DAE=∠OAE，由此即可证出AE平分∠BAC；

（2）△ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况：①CE=AE时，利用等腰三角形的性质结合点A的坐标即可得出点C的坐标；②当CA=CE时，设点C（m，0）（m>0），则OC=m，OE=OC=m，CA=m+2，利用勾股定理求出CE，由CA=CE即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出点C的坐标．综上即可得出结论．

(1)①将C(2,0)代入y=，0=,解得： ，

∴直线l2的函数表达式为 .

②证明：当 时，x=3，

∴点A(3,0)，

∴ , ,AC=2(3)=5=AB.

∵当x=0时 ，

∴ ，

∴∠ABO=∠ACD.

在△ABO和△ACD中,

，

∴△ABO≌△ACD(ASA)，

∴ .

在Rt△ADE和Rt△AOE中,

，

∴Rt△ADE≌Rt△AOE(HL)，

∴∠DAE=∠OAE，

∴AE平分∠BAC.

(2)△ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况：

①当AE=CE时，

∵EO⊥AC，

∴OC=OA，

∴点C(3,0)；

②当CA=CE时,设点C(m,0)(m>0),则 ，CA=m+2，

∴ ，

∴ ，

解得：m=8，

∴点C(8,0).

综上所述：存在点C,使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形,点C的坐标为(3,0)或(8,0).