Question

16．x₁，x₂是方程x²+（m-1）x+（m²-3m+$\frac{9}{4}$）=0的二实根，求x₁²+x₂²的最大值与最小值．

Answer 1

分析 先根据判别式△≥0求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求解即可．

解答 解：方程x²+（m-1）x+（m²-3m+$\frac{9}{4}$）=0，两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=1-m，x₁x₂=m²-3m+$\frac{9}{4}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=（1-m）²-2（m²-3m+$\frac{9}{4}$）
=-m²+4m$-\frac{7}{2}$
=${-（m-2）}^{2}+\frac{1}{2}$，
∵△=m²-2m+1-4（m²-3m+$\frac{9}{4}$）≥0，
解得：$\frac{4}{3}$≤m≤2，
∴当m=2时，最大值为$\frac{1}{2}$；
当k=$\frac{4}{3}$时，最小值为$\frac{1}{18}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据判别式△≥0求出k的取值范围．