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    已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△ABO沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
    （1）求点C的坐标；
    （2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
    （3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）在Rt△AOB中，根据AB的长和∠BOA的度数，可求得OA的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C的坐标．
    （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
    （3）根据（2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作ME⊥CD（即抛物线对称轴）于E，过P作PQ⊥CD于Q，若四边形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CE、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
    解答：解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
    ∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
    ∴OB=4，OA=2
    		3
    ；
    由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2
    		3
    ，
    ∴∠COH=60°，OH=
    		3
    ，CH=3；
    ∴C点坐标为（
    		3
    ，3）．

    （2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（
    		3
    ，3）、A（2
    		3
    ，0）两点，
    ∴
    3=3a+
    		3
    b
    0=12a+2
    		3
    ，
    解得
    a=-1
    b=2
    		3
    ；
    ∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2
    		3
    x．

    （3）存在．
    ∵y=-x2+2
    		3
    x的顶点坐标为（
    		3
    ，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t．
    ∵∠BOA=30°，
    ∴ON=
    		3
    t，
    ∴P（
    		3
    t，t）；
    作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；
    把x=
    		3
    t代入y=-x2+2
    		3
    x，
    得y=-3t2+6t，
    ∴M（
    		3
    t，-3t2+6t），E（
    		3
    ，-3t2+6t），
    同理：Q（
    		3
    ，t），D（
    		3
    ，1）；
    要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
    即3-（-3t2+6t）=t-1，
    解得t=
    4
    3
    ，t=1（舍），
    ∴P点坐标为（
    4
    3
    		3
    ，
    4
    3
    ），
    ∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（
    4
    3
    		3
    ，
    4
    3
    ）．
    点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质等重要知识点，难度较大．
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    		2
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    ）（1+
    1
    24
    ）（1+
    1
    28
    ）+
    1
    215
    =
     
    ．

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