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10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法:
①2a+b=0;②当-1≤x≤3时,y<0;③abc<0;④9a+3b+c=0且4a+2b+c<0;⑤$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$>0;⑥若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2
其中正确的是(  )个.
A.2B.3C.4D.5

分析 利用抛物线与x轴的交点可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1,则根据抛物线的对称轴方程得到b=-2a,则可对①进行判断;利用函数图象得到当-1≤x≤3时,函数图象都不在x轴上方,则y≤0,则可②进行判断;利用抛物线开口方向得到a>0,利用对称性方程得到b<0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0,则可对③进行判断;利用x=3时,y=0;x=2时,y<0,可对④进行判断;利用抛物线的顶点在第四象限和抛物线的顶点坐标公式可对⑤进行判断;利用二次函数的性质可对⑥直接判断.

解答 解:∵抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∴-$\frac{b}{2a}$=1,即b=-2a,所以①正确;
当-1≤x≤3时,函数图象都不在x轴上方,则y≤0,所以②错误;
∵抛物线开口向下,
∴a>0,
∴b=-2a<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴abc>0,所以③错误;
∵x=3时,y=0;x=2时,y<0,
∴9a+3b+c=0,4+2b+c<0,所以④正确;
∵抛物线的顶点在第四象限,
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0,所以⑤正确
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴(1,y2)是抛物线的顶点,
∴y1>y2.所以⑥正确.
故选C.

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的图象于系数的关系.

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