![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5286902fc6717.png)
(1)解:直线PD为⊙O的切线
证明:如图1,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°
∴∠ADO+∠BDO=90°,
又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA
∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD
∵点D在⊙O上,∴直线PD为⊙O的切线.
(2)解:∵BE是⊙O的切线,∴∠EBA=90°
∵∠BED=60°,∴∠P=30°
∵PD为⊙O的切线,∴∠PDO=90°
在Rt△PDO中,∠P=30°,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/282559.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/282560.png)
,解得OD=1
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/282561.png)
∴PA=PO-AO=2-1=1
(3)(方法一)证明:如图2,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5286902fd6c1f.png)
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF
∵AB是圆O的直径∴∠ADB=90°
设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°
∵四边形AFBD内接于⊙O,∴∠DAF+∠DBF=180°
即90°+x+2x=180°,解得x=30°
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°
∵BE、ED是⊙O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°
∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形.
∴BD=DE=BE
又∵∠FDB=∠ADB-∠ADF=90°-30°=60°∠DBF=2x°=60°
∴△BDF是等边三角形.∴BD=DF=BF
∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5286902fe8e11.png)
(方法二)证明:如图3,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠APD=∠AFD,
∵∠PDA=∠PBD,∠ADF=∠ABF,∠PAD=∠DAF,
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF
∴AD=AF,BF∥PD
∴DF⊥PB∵BE为切线∴BE⊥PB
∴DF∥BE
∴四边形DFBE为平行四边形
∵PE、BE为切线∴BE=DE
∴四边形DFBE为菱形
分析:(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;
(2)根据BE是⊙O的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD为⊙O的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;
(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.
点评:本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档题,难度较大.