如图,抛物线交坐标轴于A、B、D三点,过点D作
轴的平行线交抛物线于点C.直线l过点E(0,-
),且平分梯形ABCD面积.
⑴ 直接写出A、B、D三点的坐标;
⑵ 直接写出直线l的解析式;
⑶ 若点P在直线l上,且在x轴上方,tan∠OPB=,求点P的坐标.
⑴点A(-2,0),点B(8,0),点D(0,);⑵ 直线l:
;⑶(7,7).
解析试题分析:⑴令,解之即可求得A,B的坐标;在
中,令
,解之即可求得D的坐标.
⑵作CF⊥x轴,F为垂足.先求出矩形OFCD的中心坐标M(3,),则直线ME即为所求直线l.[
⑶若点P为所求的点,画出△POB的外接圆⊙G,并作GH⊥x轴,H为垂足,则∠OGH=∠HGB=∠OPB;
作PN⊥x轴,GN∥x轴,交于点N,则GN=3,PN=4,因此点P的坐标为(7,7).
⑴ 点A(-2,0),点B(8,0),点D(0,).
⑵ 直线l:.
⑶ 如图,若点P为所求的点,画出△POB的外接圆⊙G,并作GH⊥x轴,H为垂足,则∠OGH=∠HGB=∠OPB.
∵OH=HB=4,tan∠OGH=tan∠HGB=tan∠OPB=,
∴GH=3,GO=GB=GP=5,即⊙G的圆心G坐标为(4,3),半径r=5.
将点G坐标代入直线l解析式发现,点G恰巧在直线l上.
设直线l与x轴交于点Q,不难计算GH:QH=4:3.
作PN⊥x轴,GN∥x轴,交于点N,则GN=3,PN=4,
因此点P的坐标为(7,7).
考点:1.二次函数综合题;2.待定系数法的应用;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.锐角三角函数定义.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
定义1:在△ABC中,若顶点A,B,C按逆时针方向排列,则规定它的面积为“有向面积”;若顶点A,B,C按顺时针方向排列,则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用表示,例如图1中,
,图2中,
.
定义2:在平面内任取一个△ABC和点P(点P不在△ABC的三边所在直线上),称有序数组(,
,
)为点P关于△ABC的“面积坐标”,记作
,例如图3中,菱形ABCD的边长为2,
,则
,点G关于△ABC的“面积坐标”
为
.在图3中,我们知道
,利用“有向面积”,我们也可以把上式表示为:
.
应用新知:
(1)如图4,正方形ABCD的边长为1,则 ,点D关于△ABC的“面积坐标”是 ;探究发现:
(2)在平面直角坐标系中,点
,
①若点P是第二象限内任意一点(不在直线AB上),设点P关于的“面积坐标”为
,
试探究与
之间有怎样的数量关系,并说明理由;
②若点是第四象限内任意一点,请直接写出点P关于
的“面积坐标”(用x,y表示);
解决问题:
(3)在(2)的条件下,点,点Q在抛物线
上,求当
的值最小时,点Q的横坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线
于点C;
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点A关于直线的对称点
的坐标,判定点
是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点A坐标为(-1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;②4a+2b+c>0;③B点坐标为(4,0);④当x<-1时,y>0.
其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
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已知关于的一元二次方程
.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线与x轴交点为A、B(点B在点A的右侧),与y轴交于点C.点O为坐标原点,点P在直线BC上,且OP=
BC,求点P的坐标.
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如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点(点E与点B、C不重合),设BE=x.
操作:在射线BC上取一点F,使得EF=BE,以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG,设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)S是否存在最大值?若存在,请直接写出最大值,若不存在,请说明理由.
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心理学家通过实验发现:初中学生听讲的注意力随时间变化,讲课开始时,学生注意力逐渐增强,中间有一段平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间表t(分钟)变化的函数图象如下.当0≤t≤10时,图像是抛物线的一部分,当10≤t≤20时和20≤t≤40时,图像是线段。
(1)当0≤t≤10时,求注意力指标数y与时间t的函数关系式;
(2)一道数学探究题需要讲解24分钟,问老师能否经过恰当安排,使学生在探究这道题时,注意力指标数不低于45?请通过计算说明.
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如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,B为线段OA的中点,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M,点P为线段FG上一个动点(点P与F、G不重合),作PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)若经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-x2+(2b-1)x+c-5,则b= ,c= (直接填空)
(2)①以P、D、E为顶点的三角形是直角三角形,则点P的坐标为 (直接填空)
②若抛物线顶点为N,又PE+PN的值最小时,求相应点P的坐标.
(3)连结QN,探究四边形PMNQ的形状:
①能否成为平行四边形
②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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如图,正方形ABCD边长是16 cm,P是AB上任意一点(与A、B不重合),QP⊥DP.设AP="x" cm,BQ="y" cm.试求出y与x之间的函数关系式.
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