Question

13．如图，矩形ABCD中，点F在AD上，AF=AB=12，点G是AF的中点，延长CD和BF交于点E，EG的延长线交AB于点P，GH∥AB交BC于点H，已知AP比ED小1．
（1）求BC的长；
（2）判断以E，C，H三点构成的三角形与以P，B，H三点构成的三角形是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到∠A=90，∠ABF=∠AFB=45°，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ABF=∠DFE=∠AFB=45°，求得DE=DF，设AP=x，则DE=DF=x+1，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AP}=\frac{DG}{AG}$，列方程即可得到结论；
（2）根据$\frac{CE}{PB}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，$\frac{CH}{BH}=\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，得到$\frac{CE}{PB}=\frac{CH}{BH}$，根据相似三角形的判定即可得到结论．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A=90°，AF=AB=12，
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DEF=∠ABF=∠DFE=∠AFB=45°，
∴DE=DF，
∵点G是AF的中点，
∴AG=GF=6，
设AP=x，则DE=DF=x+1，
∵DE∥AP，
∴△DEG∽△APG，
∴$\frac{DE}{AP}=\frac{DG}{AG}$，
∴$\frac{x+1}{x}=\frac{6+x+1}{6}$，
∴x=2，
∴DF=3，
∴BC=AD=15；

（2）以E，C，H三点构成的三角形与以P，B，H三点构成的三角形相似，
理由：∵CE=DE+CD=15，CH=9，PB=10，BH=6，
∵$\frac{CE}{PB}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，$\frac{CH}{BH}=\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{CE}{PB}=\frac{CH}{BH}$，
∵∠C=∠ABC=90°，
∴△CEH∽△BPH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．