Question

如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知C地在A地的北偏东60°，在B地的西北方向，AC=10km，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了多少千米？（

2

≈1.41，

3

≈1.71，结果精确到0.1）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD和直角△CBD中，解直角三角形求出CD，AD，BC，就可以得到结论．

解答：解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D．
∵AC=10km，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC=5（km）．
AD=

AC2-CD2

=

102-52

=5

3

（km）．
在Rt△CDB中，∵∠B=45°，
∴CD=BD=5km．
∴BC=

CD2+BD2

=

52+52

=5

2

（km）．
∴从A地到B地汽车少走的距离是：AC+BC-AB．
即AC+BC-AB=AC+BC-（AD+BD）
=10+5

2

-（5

3

+5）
=5×（1+

2

-

3

）
≈5×（1+1.41-1.73）
≈3.4（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走约3.4km．

点评：本题考查了方向角，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．