Question

6．如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃的大小关系是S₁＜S₃＜S₂．（用“＜”号连接）

Answer 1

分析 设△ABC的面积为S，周长为C．①若l∥BC，如图1，则有△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质及等比性质可得$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD+AE}{AB+AC}$=$\frac{\frac{1}{2}C}{c+b}$；②若l∥BC，如图2，同理可得$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{\frac{1}{2}C}{b+a}$；③若l∥AC，如图3，同理可得$\frac{\sqrt{{S}_{3}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{\frac{1}{2}C}{a+c}$．由0＜a＜b＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得到$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$＜$\frac{\sqrt{{S}_{3}}}{\sqrt{S}}$＜$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$．

解答 解：设△ABC的面积为S，周长为C．
①若l∥BC，如图1，
则有△ADE∽△ABC，
∴$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD+AE}{AB+AC}$=$\frac{\frac{1}{2}C}{c+b}$；
②若l∥AB，如图2，
同理可得：$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{\frac{1}{2}C}{b+a}$；
③若l∥AC，如图3，
同理可得：$\frac{\sqrt{{S}_{3}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{\frac{1}{2}C}{a+c}$．
∵0＜a＜b＜c，
∴0＜a+b＜a+c＜b+c，
∴$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$＜$\frac{\sqrt{{S}_{3}}}{\sqrt{S}}$＜$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$，
∴S₁＜S₃＜S₂，
故答案为S₁＜S₃＜S₂．

点评 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、等比性质等知识，把相似三角形的面积比等于相似比的平方转化为相似三角形面积算术平方根比等于相似比，是解决本题的关键．