Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与直线BC相交于点B（-2，2），直线AB与y轴相交于点A（0，4），直线BC与x轴、y轴分别相交于点D（-1，0）、点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC面积，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）设过点A，B的直线，求得b，k而求得直线解析式；
（2）首先设设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，则可求得k的值，所求直线后代入点A，求得c则得到直线；
（3）在（2）的基础上，求得点P的有关坐标，求得△ABC面积，代入点P而求得点P，进而求得点Q．

解答：解：（1）设直线AB为y=kx+b，
代入点B，A，
则

2=-2k+b 4=b

，
解得b=4，k=1，
所以直线AB为y=x+4；

（2）设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，
根据题意得：k=

2

-2+1

= -2，
则直线AE的直线为y=-2x+c，
则代入点A得c=4，
则直线AE为y=-2x+4，
则点E为（2，0）；


（3）∵点D（-1，0）、点B（-2，2），
∴直线BD的解析式为：y=-2x-2，
∴点C（0，-2），
∴AC=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×2=6，
∵点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，
∴若点Q在x轴上方，
则PQ∥DE，且PQ=DE，∴P（-2，2）
此时点Q₁（1，2），Q₂（-5，2）；
若点Q在x轴下方，
则Q₃（ 3，-2）；
∴Q₁（1，2），Q₂（-5，2），Q₃（ 3，-2）．

点评：本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线，直线间的交点，形成四边形而求面积．