Question

16．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过D作DH∥AB交BC于点H，根据已知得出ABHD是平行四边形，求出DH=AB=8，BH=AD=2，再根据勾股定理求出HC，最后根据梯形的面积公式即可得出答案；
（2）分三种情况讨论，当0≤t≤4时，过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E，H，根据勾股定理表示出PD和PQ，再分两种情况讨论，求出t的值；第二种情况：当4≤t＜5时，得出DP=DQ=10-2t，从而得出以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，第三种情况：5＜t≤6时，得出DP=DQ=2t-10，从而得出以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

解答 解：（1）如图（1）过D作DH∥AB交BC于点H，
∵AD∥BC，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形，
∴DH=AB=8，BH=AD=2，
∵CD=10，
∴HC=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$×（2+8）×8=40；

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t，
∴t=$\frac{3}{2}$＜4，
∴当t=$\frac{3}{2}$秒时，PQ将梯形ABCD周长平分，
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴$\frac{QC}{DC}$=$\frac{QE}{DH}$=$\frac{EC}{HC}$，
∴$\frac{3}{10}$=$\frac{QE}{8}$=$\frac{EC}{6}$，
∴QE=$\frac{12}{5}$，EC=$\frac{9}{5}$，
BE=8-$\frac{9}{5}$=$\frac{31}{5}$，
∴四边形PBCQ面积=S_梯形AEBP+S_△QEC=$\frac{1}{2}$（PB+QE）×BE+$\frac{1}{2}$QE×EC=$\frac{1}{2}$（$\frac{12}{5}$+3）×$\frac{31}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{9}{5}$=$\frac{189}{10}$=18.9，
∴PQ不平分梯形ABCD的面积；

②第一种情况：如图（2），当0≤t≤4时，过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E，H，
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=$\sqrt{A{P}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}-32t+68}$，
∵CE=$\frac{6}{5}$t，QE=$\frac{8}{5}$t，
∴QH=BE=8-$\frac{6}{5}$t，BH=QE=$\frac{8}{5}$t，
∴PH=2t-$\frac{8}{5}$t=$\frac{2}{5}$t，
∴PQ=$\sqrt{H{Q}^{2}+P{H}^{2}}$=$\sqrt{（8-\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+64}$，
DQ=10-2t，
I：DQ=DP，10-2t=$\sqrt{4{t}^{2}-32t+68}$，
解得；t=4秒，
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=$\sqrt{\frac{8}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+64}$，
化简得：3t²-26t+45=0，
解得；t=$\frac{13-\sqrt{34}}{3}$，t=$\frac{10+\sqrt{34}}{3}$＞4（不合题意，舍去），
∴t=$\frac{13-\sqrt{34}}{3}$，
第二种情况：当4≤t＜5时，DP=DQ=10-2t，
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，
第三种情况：5＜t≤6时，DP=DQ=2t-10，
∴5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，
综上所述，t=$\frac{13-\sqrt{34}}{3}$或4，4≤t＜5或，5＜t≤6时以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

点评 此题考查了四边形的综合，用到的知识点是平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形和梯形的面积公式以及等腰三角形的性质等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论的思想．