Question

（2012•安溪县质检）如图，BC为半圆O的直径，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若AB=3，BC=5，cos∠ABE=

2

5

5

，求ED的长．

Answer 1

分析：（1）由BC为半圆的直径，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABE与△DBC相似；
（2）由∠ABD=∠CBD，得出cos∠ABE=cos∠CBD=

2

5

5

，再利用锐角三角函数关系得出BD，DE的长即可得出答案．

解答：解：（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵

AD

=

DC

，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵∠ABD=∠CBD，
∴cos∠ABE=cos∠CBD=

2

5

5

，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴cos∠ABE=

AB

BE

=

3

BE

=

2

5

5

，
解得：BE=

3 5

2

，
cos∠CBD=

BD

BC

=

BD

5

=

2

5

5

，
解得：BD=2

5

，
故ED的长为：BD-BE=2

5

-

3 5

2

=

5

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与圆周角的性质以及三角函数等知识，解题的关键是得出cos∠ABE=cos∠CBD=

2

5

5

．