Question

2．如图，已知：?ABCD中，∠ABC=120°，分别延长AB，CB到点F，E，使得△BCF和△ABE都是等边三角形，连接DE，DF．
（1）求证：DE=DF；
（2）连接EF，猜想△DEF的形状并加以证明．

Answer 1

分析 （1）等边三角形中，三条边相等，三个角都是60°，则由60°角及平行四边形对角相等的性质可得∠DAE=∠DCF，即△DAE≌△FCD，得出DF=DE；
（2）同理可得出三条边都相等，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵△ABE和△BCF都是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=AB=CD，CF=BC=AD，
∴∠BAE=∠BCF=60°，即∠DAE+∠BAD=∠DCF+∠BCD=60°，
在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠DAE=∠DCF=120°，
在△DAE与△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CF}\\{∠DAE=∠FCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△FCD（SAS），
∴DF=DE；

（2）如图，连接EF，
∵∠ABC=∠EBF=120°，∠EAD=120°，
∴∠EAD=∠EBF，
∵EA=EB，AD=BC=BF，
在△BEF与△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠EAD=∠EBF}\\{AD=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴DE=EF，
∴DE=DF=EF，即△DEF是等边三角形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，解题时注意：三条边都相等的三角形是等边三角形，平行四边形的对边相等．