Question

2．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．
（1）证明：∠D=∠AEC；
（2）证明：OA²=OD•OF．

Answer 1

分析 （1）结合切线的性质定理和等角的余角相等，把∠D转化为∠OCB，再根据等边对等角和圆周角定理的推论进行证明；
（2）根据圆周角定理得到∠B=∠AEC等量代换得到∠D=∠B，根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{OF}=\frac{OD}{OB}$，即$\frac{OA}{OF}=\frac{OD}{OA}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC；
（2）解：∵∠B=∠AEC
∴∠D=∠B，
∵OD⊥BC，
∴∠BFO=∠OCD=90°，
∴△BOF∽△DOC，
∴$\frac{OC}{OF}=\frac{OD}{OB}$，即$\frac{OA}{OF}=\frac{OD}{OA}$，
∴OA²=OD•OF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．