Question

11．如图，AB是圆的直径，弦CD∥AB，AD，BC相交于点E，若AB=6，CD=2，∠AEC=α，求cosα的值．

Answer 1

分析 如图，连接AC．在Rt△AEC中，求出$\frac{CE}{AE}$的值即可，根据$\frac{CE}{AE}$=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{CD}{AB}$可以得出结论．

解答 解：如图，连接AC．

∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AE}{ED}$，∠BCD=∠ADC，
∴EC=ED，AB=6，CD=2，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB是直径，
∴∠ACE=90°，
∴cosα=$\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、平行线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是重合添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．