Question

5．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　）

• A． 3$\sqrt{10}$
• B． 10$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 9$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果．

解答 解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=$\frac{1}{3}$CD=3，
∴BE=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．
故选A．

点评 此题考查了轴对称--最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．