【题目】如图,在中,已知, , 是的中点,点、分别在、边上运动(点不与点、重合),且保持,连接、、.在此运动变化的过程中,有下列结论,其中正确的结论是( )
①四边形有可能成为正方形;②是等腰直角三角形;
③四边形的面积是定值;④点到线段的最大距离为.
A. ①④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】①当DE⊥AC,DF⊥BC时,此时四边形CEDF是矩形,由AC=BC,∠ACB=90°,则∠A=∠B=45°,由CD⊥AB,则∠ACD=∠BCD=45°,则AD=CD=BD,同理CE=AE=DE,则此时四边形CEDF是正方形,正确;
②连接CD,在△ADE和△CDF中,AE=CF, ∠A=∠DCF=45°,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF,
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA,
又∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDF,
∴△DFE为等腰直角三角形,正确;
③∵△ADE≌△CDF,
∴S△ADE=S△CDF,
∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD,
∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED=S△ADC,
∵S△ADC=S△ABC=4,
∴四边形CEDF面积是定值为4,正确;
④设C到EF的距离为d,CF=x,
∵△DEF是等腰直角三角形,故D到EF的距离为EF,
又四边形CEDF的面积是定值4,
故S四边形CEDF=S△CEF+S△FED= (+d)=4,
则d=,当EF越小,则d越大,
由EF=DE,则DE最小时,EF最小,此时d最大.
而当DE⊥AC时,DE=2最小,
此时EF=2,d==.
故正确.
综上,①②③④都正确.
故选D.
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【题目】如图,点A的坐标为(4,0).点P是直线y= x+3在第一象限内的点,过P作PMx轴于点M,O是原点.
(1)设点P的坐标为(x, y),试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S;
(2)S与y是怎样的函数关系?它的自变量y的取值范围是什么?
(3)如果用P的坐标表示△OPA的面积S,S与x是怎样的函数关系?它的自变量的取值范围是什么?
(4)在直线y= x+3上求一点Q,使△QOA是以OA为底的等腰三角形.
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【题目】如图,在△ABC中,D为BC边的中点,过D点分别作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.
求证:BF=DE.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析:根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可判定四边形AFDE是平行四边形,根据平行四边形的性质可得DE=AF,再由D为BC边的中点,DF∥AC,可得BF=AF,即可得BF=DE.
试题解析:
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴DE∥AF,DF∥AE,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴DE=AF,
∵D为BC边的中点,
∴BD=DC,∵DF∥AC,
∴BF=AF,
∴BF=DE.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,已知:∠C=∠D,OD=OC.求证:DE=CE.
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【题目】某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件销售价x(元)的关系数据如下:
x | 30 | 32 | 34 | 36 |
y | 40 | 36 | 32 | 28 |
(1)已知y与x满足一次函数关系,根据上表,求出y与x之间的关系式.(不写出自变量x的取值范围);
(2)如果商店销售这种商品,每天要获得150元,那么每件商品的销售价应定为多少元?
(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元),求出w与x之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?
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【题目】如图, 是等边三角形内的一点,连结、、,以为边作且.连结.
(1)观察并猜想与之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若, , ,连结,试判断的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,求的面积.
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【题目】在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.
(1)在图1中画一个△PAB,使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;
(2)在图2中画一个△PAB,使点P,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.
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