Question

（2012•朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为

80π-160

．

Answer 1

分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．

解答：解：连接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），
∴△AEM∽△CFM，
∴

AE

CF

=

EM

FM

，
∵AE=4，FC=12，
∴

EM

FM

=

1

3

，
∴EM=2，FM=6，
在Rt△AEM中，AM=

AE2 +EM2

=2

5

，
在Rt△FCM中，CM=

CF2  +FM2

=6

5

，
∴AC=8

5

，
在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8

5

×

2

2

=4

10

，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=160，
圆的面积为：π•（

8 5

2

）²=80π，
∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π-160．
故答案为：80π-160．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．