问题提出:如图.用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子.小正方形的顶点叫格点.以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为y.它各边上格点个数之和为x.它内部格点数为n.那么y与x.n有什么数量关系? 问题探究:为解决上述问题.我们采取一般问题特殊化的策略.从最简单的情形入手:探究一:当格点多边形内部的格点数n=0时.格点多边形的面积y与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．问题提出：
如图，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为y，它各边上格点个数之和为x，它内部格点数为n，那么y与x，n有什么数量关系？
问题探究：为解决上述问题，我们采取一般问题特殊化的策略，从最简单的情形入手：
探究一：当格点多边形内部的格点数n=0时，格点多边形的面积y与各边上的格点个数之和x之间的数量关系．
如图①，图②，图③都是n=0时的格点多边形，y与x，n的数量如下表：

图形序号	内部格点数n	各边上格点个数之和x	面积y
①	0	4	1
②	0	5	1.5
③	0	6	2

分析表格中数据，可知当n=0时，y与x之间的关系式为y=$\frac{1}{2}$x-1．
探究二：当格点多边形内部的格点数n=1时，格点多边形的面积y与各边上的格点个数之和x之间的数量关系．
如图④，图⑤，图⑥都是n=1时的格点多边形，请完成下表：

图形序号	内部格点数n	各边上格点个数之和x	面积y
④	1	4	2
⑤	1	5	2.5
⑥	1

分析表格中数据，可知当n=1时，y与x之间的关系式为y=$\frac{1}{2}$x．
探究三：如图⑦，图⑧，图⑨都是n=2时的格点多边形，类比上述探究方法，可知n=2时，y与x之间的关系式为y=$\frac{1}{2}$x+1．

问题解决：
综上可得：格点多边形的面积y，与它各边上格点个数之和x，内部格点数n之间的关系式为y=$\frac{1}{2}$x+n-1．
结论应用：
请用上面的结论计算下面图中格点多边形的面积．（写出计算过程）

分析探究一：1=4×$\frac{1}{2}$-1，1.5=5×$\frac{1}{2}$-1，2=6×$\frac{1}{2}$-1；多边形的面积=各边上格点个数和的一半减去1，即y=$\frac{1}{2}$x-1；
探究二：2=4×$\frac{1}{2}$，2.5=5×$\frac{1}{2}$；多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即y=$\frac{1}{2}$x；如图⑥中，各边上格点个数之和为6，面积为3；
探究三：内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，类比以上两个探究根据图找出y与x的关系；
问题解决：当n=0时，y=$\frac{1}{2}$x-1，
当n=1时，y=$\frac{1}{2}$x+1-1，
当n=2时，y=$\frac{1}{2}$x+2-1，
…
∴格点多边形的面积y，与它各边上格点个数之和x，内部格点数n之间的关系式为：y=$\frac{1}{2}$x+n-1，
结论应用：
根据图形数出格点的个数和x=14，内部格点数n=22，代入即可．

解答解：探究一：根据表格中数据，可知当n=0时，多边形的面积=各边上格点个数和的一半减去1，
∴y与x之间的关系式为：y=$\frac{1}{2}$x-1；
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x-1；
探究二：表格如下图所示：

根据以上信息，多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即y=$\frac{1}{2}$x；
故：表格中填：6，3，
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x；
探究三：如图⑦，各边上格点个数和x=4，面积y=4×$\frac{1}{2}$+1=3，
如图⑧，各边上格点个数和x=5，面积y=5×$\frac{1}{2}$+1=3.5，
如图⑨，各边上格点个数和x=6，面积y=6×$\frac{1}{2}$+1=4，
∴根据表格中数据，可知当n=2时，多边形的面积=各边上格点个数和的一半加1，
∴y与x之间的关系式为：y=$\frac{1}{2}$x+1；

问题解决：
综上可得：格点多边形的面积y，与它各边上格点个数之和x，内部格点数n之间的关系式为：y=$\frac{1}{2}$x+n-1，
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x+n-1；
结论应用：
将x=14，n=22代入：y=$\frac{1}{2}$x+n-1，得，
y=$\frac{1}{2}$×14+22-1=28，
∴图中格点多边形的面积为28．

点评本题是图形类的规律题，需要根据图中表格和格点图形，与自己所算得的数据结合，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．

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