Question

如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：
①GH⊥BE；②HO

∥

.

1

2

BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．
其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；
（2）由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO

∥

.

1

2

BG；
（3）△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上；
（4）连接CF，由点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，所以△GBE∽△GMF．

解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，

BC=CD ∠BCE=∠DCG CE=CG

∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
（2）∵GH是∠EGC的平分线，
∴∠BGH=∠EGH，
在△BGH和△EGH中

∠BGH=∠EGH GH=GH ∠GHB=∠GHE

∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△EBG的中位线，
∴HO

∥

.

1

2

BG，
故②正确；
（3）由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
故③错误；
（4）如图2，连接CF，

由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正确，
故选：C．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是能灵活利用三角形全等的判定和性质来解题．