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    20．在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若AB=10，BC=8，AC=6，求△AED的周长．

    分析 根据角平分线的性质得到DE=DC，证明Rt△BED≌Rt△BCD，得到BE=BC=8，求出AE的长，根据三角形的周长公式计算即可．

    解答 解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，
    ∴DE=DC，
    在Rt△BED和Rt△BCD中，
    $\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△BED≌Rt△BCD，
    ∴BE=BC=8，
    ∴AE=AB-BE=2，
    则△AED的周长=AE+ED+AD=AE+DC+AD=2+6=8．

    点评 本题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

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    A．B．
    C．D．

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    （1）求证：DM=MN；
    （2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你的结论．

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    12．我们已知sin30°=$\frac{1}{2}$，其求法是构造如图1所示的Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么sin30°=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，在此基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值．
    （1）如图2所示，延长CB至点D，是DB=BA，连接AD，在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，CD=BD+BC，易得BC=$\sqrt{3}$，故CD=2+$\sqrt{3}$，所以在在Rt△ACD中，tan∠ADC=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，因为∠ABC=30°，且AB=BD，故∠D=15°，所以tan15°=2-$\sqrt{3}$．
    （2）请根据上述材料介绍的方法，求tan75°的值．

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    9．求证：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{ab+1}$|．

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