Question

9．如图，?ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC=2AB．
（1）求证：△APG≌△FEG；
（2）求证：△PEF为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线求得EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，中点得出AP=$\frac{1}{2}$AD，结合平行四边形的性质得出AP=EF，AP∥EF，求得∠APG=∠GEF，∠PAG=∠GFE，证得结论；
（2）连接AE，求出AB=AO，得出AE⊥BD，求出EP=$\frac{1}{2}$AD，求出EF=$\frac{1}{2}$BC，根据AD=BC求出即可．

解答 证明：（1）∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∵P是AD的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$AD，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴AP=EF，AP∥EF，
∴∠APG=∠GEF，∠PAG=∠GFE，
在△APG和△FEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APG=∠GEF}\\{AP=EF}\\{∠PAG=∠GFE}\end{array}\right.$，
∴：△APG≌△FEG．
（2）连接AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AC=2OA=2OC，
∵AC=2AB，
∴OA=AB，
∵E为OB中点，
∴AE⊥BD（三线合一定理），
∴∠AED=90°，
∵P为AD中点，
∴AD=2EP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵BC=AD，
∴BC=2EP，
∵E、F分别是OB、OC中点，
∴BC=2EF，
∴EP=EF．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质，平行四边形性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形的中位线性质的应用，题目综合性比较强．