如图1.直线L:y=-x+3与x轴.y轴分别交于点B.点C.经过B.C两点的抛物线G:y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A.顶点为P.且对称轴是直线x=2．(1)该抛物线G的解析式为 ,(2)将直线L沿y轴向下平移个单位长度.能使它与抛物线G只有一个公共点,(3)若点E在抛物线G的对称轴上.点F在该抛物线上.且以点A.B.E.F为顶点的四边形为平行四边形.求点E与点F坐标并直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）该抛物线G的解析式为______；
（2）将直线L沿y轴向下平移______个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．
（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．

（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
∴点B、C的坐标为B（3，0），C（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0），
∴

a+b+c=0

9a+3b+c=0

c=3

，
解得

a=1

b=-4

c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）设平移后的直线解析式为y=-x+b，
则

y=-x+b

y=x2-4x+3

，
∴x²-3x+3-b=0，
∵它与抛物线G只有一个公共点，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=

，
3-

，
∴向下平移了

个单位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），

∴AB=3-1=2，
①当AB是边时，∵点E在对称轴上，平行四边形的对边平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴点F的横坐标为0或4，
当横坐标为0时，y=0²-4×0+3=3，
当横坐标为4时，y=4²-4×4+3=3，
∴点F的坐标为F₁（0，3）或F₂（4，3），
此时点E的坐标为E₁（2，3），
此时AE=

12+32

，
∴平行四边形的周长为：2（AB+AE）=2（2+

）=4+2

；
②当AB边为对角线时，EF与AB互相垂直平分，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此时点E、F的坐标为E₂（2，1），F₃（2，-1），
∴AE=

12+12

，
AF=

12+12

，
∴平行四边形的周长为：2（AE+AF）=2（

）=4

，
综上所述，点E、F的坐标分别为E₁（2，3），F₁（0，3）或F₂（4，3），此时平行四边形的周长为4+2

，
或E₂（2，1），F₃（2，-1），此时平行四边形的周长为4

；

（4）连接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①PB与AB是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

，
即

，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0），
②PB与BC是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

，

即

，
解得QB=

，
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-

，
∴Q₂的坐标是（

，0），
③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（

，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

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