Question

（2012•十堰）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=

5

．

Answer 1

分析：过D作DK平行EF交CF于K，得出平行四边形DEFK，推出EF=DK，证△DCK∽△CBA，求出CK，根据勾股定理求出DK即可．

解答：解：
过D作DK平行EF交CF于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2，
∵AD∥BC，EF∥DK，
∴DEFK为平行四边形，
∴EF=DK，
∵EF⊥AC，
∴DK⊥AC，
∴∠DPC=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDK+∠DCP=90°，∠DCP+∠ACB=90°，
∴∠CDK=∠ACB，
∵∠DCK=∠ABC=90°，
∴△CDK∽△BCA，
∴

CD

CK

=

BC

AB

，
即

2

CK

=

4

2

，
CK=1，
根据勾股定理得：EF=DK=

5

，
故答案为：

5

．

点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出EO长，用的数学思想是方程思想．