Question

如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．

下面：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（-7，5），E（4，-3）．所以DF=|5-（-3）|=8，EF=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理可得：DE=

82+112

=

185

．
下面请你参与：
（1）在图①中：AC=

4

，BC=

3

，AB=

5

．
（2）在图②中：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂，y₁，y₂表示AC=

y₁-y₂

，BC=

x₁-x₂

，AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：
已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．

Answer 1

分析：（1）结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；
（2）结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度．
（3）设点C的坐标为（x，0）或（y，0），依次求出即可得出答案．

解答：解：（1）AC=4，BC=3，AB=

AC2+BC2

=5；

（2）结合图形可得：AC=y₁-y₂，BC=x₁-x₂，AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．

（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），
则AC=BC，即

(2-x)2+(1-0)2

=

(4-x)2+(3-0)2

，
解得：x=5，
即点C的坐标为（5，0）；
若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），
则AC=BC，即

(2-0)2+(1-y)2

=

(4-0)2+(3-y)2

，
解得：y=5，
即点C的坐标为（0，5）．
综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．
故答案为：4，3，5；y₁-y₂，x₁-x₂，A

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．

点评：本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意．