Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH平行四边形；
（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形；
（3）在（2）的条件下，梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：（1）连接对角线，利用三角形中位线定理，根据平行四边形的判定方法判断．
（2）根据菱形四边相等可推出梯形对角线相等，即梯形是等腰梯形，AD=BC．
（3）要证明四边形EFGH是正方形，则要证明四边形EFGH有一个角是直角．

解答：（1）证明：连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC；
EF=

1

2

AC，GH=

1

2

AC．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：∵EF=GH=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，
∴若四边形EFGH为菱形，
则EF=FG，从而AC=BD．得ABCD为等腰梯形，AD=BC．
∴当梯形ABCD的边满足AD=BC时，四边形EFGH为菱形．

（3）解：∵四边形EFGH为菱形，
根据有一个角是直角的菱形是正方形，
故梯形ABCD满足AC⊥BD条件时，四边形EFGH是正方形．

点评：此题考查了三角形中位线定理、菱形的性质、等腰梯形的判定，正方形的判定等知识点，综合性较强．