Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+4$交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令一次函数中x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由点D的纵坐标为9即可得出AE的长，根据菱形的性质得出AB=AD，结合勾股定理即可求出点D的坐标，由DC∥AB可设直线DC的解析式为$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+b$，代入点D的坐标求出b值即可得出结论；
（3）假设存在，点C时以BD为对角线找出的点，再分别以AB、AD为对角线，根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点A、B、D的坐标即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）令$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+4$中x=0，则y=4，
∴点A（0，4）；
令$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+4$中y=0，则-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+4=0，解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴点B（$2\sqrt{3}$，0）．
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．
∵点D的纵坐标为9，OA=4，
∴AE=5．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=$\sqrt{O{A^2}+O{B^2}}=\sqrt{{4^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=2\sqrt{7}$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{28-25}$=$\sqrt{3}$，
∴D（$\sqrt{3}$，9）．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴设直线DC的解析式为$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+b$，
∵直线DC过点D（$\sqrt{3}$，9），
∴b=11，
∴直线DC的解析式为$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+11$．
（3）假设存在．
以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：
①以AB为对角线时，
∵A（0，4），B（$2\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，9），
∴点P（0+2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，4+0-9），即（$\sqrt{3}$，-5）；
②以AD为对角线时，
∵A（0，4），B（$2\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，9），
∴点P（0+$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$，4+9-0），即（-$\sqrt{3}$，13）．
故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（$\sqrt{3}$，-5）或（-$\sqrt{3}$，13）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析，解题的关键是：（1）分别代入x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值；（2）求出点D的坐标；（3）分别以AB、AD为对角线求出点P的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质（对角线互相平分），结合三个顶点的坐标求出另一顶点坐标是关键．