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【题目】(本题7)如图,在RtABCACB=90°,EAC上一点,且AE=BC,过点AADCA,垂足为A,且AD=AC,AB、DE交于点F.

(1)判断线段ABDE的数量关系和位置关系,并说明理由;

(2)连接BD、BE,若设BC=a,AC=b,AB=c,请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理.

【答案】(1)AB=DE,ABDE.理由见解析;(2)证明见解析.

【解析】试题分析:(1)根据垂直的定义可证得∠DAE=∠ACB=90°,然后根据ASA可证△ABC≌△DEA,从而得证AB=DE,且∠3=∠1,然后根据直角三角形的内角和等量代换可证得AB⊥DE

2)根据三角形的面积和四边形的面积,可知S四边形ADBE= SADE+ SBDES四边形ADBE=SABE+SADB=a2b2可得证符合勾股定理的逆定理.

试题解析:(1)解:AB=DEAB⊥DE

如图2∵AD⊥CA∴∠DAE=∠ACB=90°

∵AE=BC∠DAE=∠ACBAD=AC∴△ABC≌△DEA∴AB=DE

∠3=∠1∵∠DAE=90°∴∠1+∠2=90°∴∠3+∠2=90°

∴∠AFE=90°∴AB⊥DE

2)如图2∵S四边形ADBE= SADE+ SBDE=DE·AF+DE·BF=DE·AB =c2

S四边形ADBE=SABE+SADB=a2b2

a2b2=c2∴a2b2=c2

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