Question

（2009•太原）问题解决：
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．
类比归纳：
在图（1）中，若，则的值等于______；若，则的值等于______；若（n为整数），则的值等于______．（用含n的式子表示）
联系拓广：
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于______．（用含m，n的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：如图（1-1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．由轴对称的性质知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四边形ABCD是正方形，则有∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；设BN=x，则NE=x，NC=2-x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE²=CN²+CE²．即x²=（2-x）²+1²可解得x的值，从而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，有AM²+AB²=DM²+DE²．
设AM=y，则DM=2-y，y²+2²=（2-y）²+1²可求得y的值，得到AM的值从而得到．
解答：解：（1）方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．
∵，
∴CE=DE=1．
设BN=x，则NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得x=，即BN=．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
设AM=y，则DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得y=，即AM=（6分）
∴．
方法二：同方法一，BN=．
如图（1-2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．
∵AD∥BC，
∴四边形GDCN是平行四边形．
∴NG=CD=BC．
同理，四边形ABNG也是平行四边形．
∴AG=BN=
∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．
∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠MNG．
在△BCE与△NGM中
，
∴△BCE≌△NGM，EC=MG．
∵AM=AG-MG，AM=-1=．
∴．

（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，
不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；
作MH⊥BC于H，则MH=BC，
又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=-1=
则：==．
故当=，则的值等于；若=，则的值等于；

（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；
又==，则BC=mn，同样的方法可求得：
BN=，
BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，
HN=，故AM=BH=BN-HN=，
故==．

故答案为：；；；．
点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、正方形和矩形的性质，勾股定理求解．