Question

如图，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE平分∠BCD，交AB于E，交BD于H．求证：
（1）DC=

2

DA；
（2）BE=

2

DH．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）过D作DF⊥BC于F，求出四边形ABFD是正方形，根据正方形的性质得出AD=BF=AB=DF，∠ABD=∠ADB=∠DBC=∠BDF=45°，求出BF=CF=DF，在Rt△DFC中，由勾股定理得出DC²=2DF²=2AD²，即可得出答案；
（2）过H作HQ⊥BC于Q，根据角平分线性质得出DH=HQ，求出∠3=∠5=∠4，推出BE=BH，在Rt△BQH中，∠HBQ=45°，由勾股定理得出BH=

2

HQ即可．

解答：证明：（1）如图1，过D作DF⊥BC于F，

∵∠BAD=90°，BC∥AD，
∴∠ABF=∠A=∠DFB=90°，
∵AD=AB，
∴四边形ABFD是正方形，
∴AD=BF=AB=DF，∠ABD=∠ADB=∠DBC=∠BDF=45°，
∵BC=2AB，
∴BF=CF=DF，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DC²=2DF²=2AD²，
即DC=

2

AD；

（2）如图2，过H作HQ⊥BC于Q，

∵∠BDC=45°+45°=90°，CE平分∠BCD，
∴DH=HQ，∠1=∠2，
∵∠ABC=∠HDC=90°，
∴∠2+∠5=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠5=∠4，
∴BE=BH，
在Rt△BQH中，∠HBQ=45°，由勾股定理得：BH=

2

HQ，
∵DH=HQ，BE=BH，
∴BE=

2

DH．

点评：本题考查了角平分线性质，正方形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的应用，能综合运用定理进行计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．