Question

已知：如图（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．易证：△OMN是等腰直角三角形．

（1）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），连接AE、BD，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化？并说明理由．
（2）若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图（3）所示位置时，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立？（直接写出结论）

Answer 1

解：（1）△OMN是等腰直角三角形．
理由如下：如图，连接BD，
∵△CDE顺时针旋转90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=BD，ON∥AE且ON=AE，
∴OM=ON，∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；

（2）△OMN是等腰直角三角形的结论仍成立．
如图，连接BD、AE，证明方法与（1）相同．
分析：（1）连接BD，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，全等三角形对应角相等可得∠CBD=∠CAE，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OM∥BD且OM=BD，ON∥AE且ON=AE，然后求出OM=ON，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON，然后求出∠MON=90°，根据等腰直角三角形的定义即可得解；
（2）连接BD、AE，求解方法同（1）．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，熟记旋转的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，此类题目通常都是利用同一思路求解．