Question

【题目】如图，函数y=－x2＋x＋c(－2020≤x≤1)的图象记为L1，最大值为M1；函数y=－x2＋2cx＋1(1≤x≤2020)的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．

（1）当c=1时，求M1，M2的值；

（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；

（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．

Answer 1

【答案】（1）当c=1时，M1=，M2=2；（2）3030；（3）c=－或2．

【解析】

(1)当c=1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得，的值；
(2)由已知可得点A，B重合时，，，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030；
(3)当时，，由于L2的对称轴为，分两种情况求解：当c≥1时，=c2+1；当c＜1时，=2c；再由已知列出等式即可求c的值．

(1)当c=1时，

函数y=-x2+x+c=-x2+x+1=-(x-)2+，

又-2020≤x≤1，

∴M1=，

y=-x2+2cx+1=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，

又1≤x≤2020，

∴M2=2．

(2)当x=1时，y=-x2+x+c=c-；y=-x2+2cx+1=2c．

若点A，B重合，则c-=2c，c=-，

∴L1∶y=-x2+x- (-2020≤x≤1)；

L2∶y=-x2-x+1(1≤x≤2020)．

在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；

在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．

又点A，B重合，

则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030；

(3)y=-x2+x+c(-2020≤x≤1)上时，当时，，

y=-x2+2cx+1(1≤x≤2020)，对称轴为，

当时，，

∴，

∴(舍去)或；
当时，，

∴，

∴(舍去)或；
综上，或．