分析 (1)把△ABM绕点B顺时针旋转90°,点A与点C重合,点M到达点M′,根据旋转变换的性质,△ABM和△CBM′全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′,BM=BM′,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,然后证明M′、C、N三点共线,再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等,然后根据全等三角形对应边相等即可得证.
(2)先判定梯形ABCD是等腰梯形,根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°,再把△ABM绕点B顺时针旋转90°,点A与点C重合,点M到达点M′,根据旋转变换的性质,△ABM和△CBM′全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′,BM=BM′,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,然后证明M′、C、N三点共线,再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等,然后根据全等三角形对应边相等即可得证.
解答 (1)证明:如图1,把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合,则△ABM≌△CBM′,
∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°,
∴点M′、C、N三点共线,
∵∠MBN=45°=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△BMN和△BM′N中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM′}\\{∠MBN=∠M′BN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$,
∴△BMN≌△BM′N(SAS),
∴MN=M′N,
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,
∴MN=AM+CN;
(2)解:MN=AM+CN.
理由如下:
如图2,∵BC∥AD,AB=BC=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠A+∠BCD=180°,
把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合,则△ABM≌△CBM′,
∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°,
∴点M′、C、N三点共线,
∵∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△BMN和△BM′N中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM′}\\{∠MBN=∠M′BN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$,
∴△BMN≌△BM′N(SAS),
∴MN=M′N,
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,
∴MN=AM+CN.
点评 本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰梯形的两底角互补,利用旋转变换作辅助线,构造出全等三角形,把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键,本题灵活性较强,对同学们的能力要求较高.
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