Question

【题目】综合与探究

如图（1），线段AB的两个端点的坐标分别为（-12，4）（0，10），点P从点B出发，沿BA方向匀速向点A运动；同时，点Q从坐标原点O出发，沿x轴的反方向以相同的速度运动，当点P到达点A时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，ΔOPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象如图（2）所示。

（1）求点P的运动速度；

（2）求面积S与t的函数关系式及当S最最大值时点P的坐标；

（3）点P是S取最大值时的点，设点M为x轴上的点，点N为坐标平面内的点，以点O,P，M,N为顶点的四边形地矩形，请直接写出点N的坐标。

Answer 1

【答案】（1）点P的运动速度为（长度单位、秒）；（2）ΔOPQ的面积S与t之间的函数关系式为 ，点P的坐标为（-10，5）；（3）N1(0,5)N2()

【解析】试题分析：

（1）求出AB的长，根据速度=，计算即可；

（2）由Rt△ADB∽Rt△PCB，可得，可得PC=2t，BC=t，推出OC=10﹣t，推出点P的坐标为（﹣2t，10﹣t），OQ=t，推出S=OQPE=×t（10﹣t），利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）分两种情形讨论求解；

试题解析：

（1）作PC⊥OB于C，AD⊥OB于D，PE⊥OQ于E．

∵A（﹣12，4），B（0，10），

∴AD=12，OD=4，0B=10，

∴BD=6，

在Rt△ADB中，AB=，

由图象可知，点P运动时间为6秒，

∴点P的运动速度为6÷6=（长度单位/秒）．

（2）设点P运动了t秒，则BP=OQ=t，

∵∠PBC=∠ABD，∠ADB=∠PCB=90°，

∴Rt△ADB∽Rt△PCB，

∴，

∴，

∴PC=2t，BC=t，

∴OC=10﹣t，

∴点P的坐标为（﹣2t，10﹣t），OQ=t，

∴S=OQPE=×t（10﹣t），

∴S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+（0≤t≤6），

∵﹣＜0，

∴当t=5时，S取得最大值，

此时﹣2t=﹣10，10﹣t=10﹣5=5，即点P的坐标为（﹣10，5），

综上所述，△OPQ的面积S与t的函数关系式为S=﹣t2+5t（0≤t≤6），

当面积最大时，点P的坐标为（﹣10，5）．

（3）如图，

①当PM1⊥x轴，PN1⊥y轴时，四边形PM1ON1是矩形，此时N1（0，5）．

②当PM2⊥OP时，可得四边形PM2N2O是矩形，

∵直线OP的解析式为y=﹣x，

∴直线PM2的解析式为y=2x+25，可得M2（﹣12.5，0），设N2（m，n），

则有，

∴m=﹣，n=﹣5，

∴N2（﹣，﹣5），

综上所述，满足条件是点N1（0，5），N2（﹣，﹣5）．