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    我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.
    已知：如图，点为等腰直角三角形的重心，，直线过点,过 三点分别作直线的垂线，垂足分别为点.              
    <1>当直线与平行时（图1），请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明；
    <2>当直线绕点旋转到与不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．

    （1）AD=BE+CF…………………………………1’
    证明：延长AD交BC于H
    （延长后，由平行的垂直，再由平行线间的距离相等得关系式）……………………2’
    （2）AD=BE+CF
    证明：连接AO并延长交BC于H………………………………3’
    △HOK∽△AOD……………………………………………………4’
    （证明相似，利用梯形中位线的定理证明关系式）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6’
    （3）AD=BE-CF………………………………………………………7

    解析

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•鼓楼区一模）问题提出：
    规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．
    我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．
    初步思考：
    在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．
    深入探究：
    小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个条件可分为以下四种类型：
    Ⅰ一条边和四个角对应相等；Ⅱ二条边和三个角对应相等；
    Ⅲ三条边和二个角对应相等；Ⅳ四条边和一个角对应相等．
    （1）小明认为“Ⅰ一条边和四个角对应相等”的两个四边形不一定全等，请你举例说明．
    （2）小红认为“Ⅳ四条边和一个角对应相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．
    已知：如图，
    四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1．
    四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1．
    ．
    求证：
    四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1
    四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1
    ．
    证明：

    （3）小刚认为还可以对“Ⅱ二条边和三个角对应相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：
    ①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；
    ②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；
    ③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；
    ④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．
    其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是
    ①②③
    ①②③
    （填序号），概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是
    有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等
    有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等
    ．
    （4）小亮经过思考认为也可以对“Ⅲ三条边和二个角对应相等”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个全等四边形的判定方法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
    （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：
    AO
    AD
    =
    2
    3
    ；
    （2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足
    AO
    AD
    =
    2
    3
    ，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
    （3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究
    S四边形BCHG
    S△AGH
    的最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．
    （1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
    （2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．
    ∠BAC的度数 40° 60° 90° 120°
    ∠BIC的度数        
    ∠BDI的度数        

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    操作探究：
    我们知道一个三角形中有三条高线和三条中线．如图1，AD和AE分别是△ABC中BC边上的高线和中线，我们规定：kA=
    DE
    BE′
    ，另外，对kB、kC作类似的规定．
    （1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则kA的值为
    1
    1
    ，kC的值为
    1
    2
    1
    2
    ；
    （2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上（如图3），画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且kA=2，面积也为2；
    （3）判断下面三个命题的真假（真命题打“√”，假命题的打“×”）
    ①若△ABC中，kA＜1，则△ABC为锐角三角形
    ×
    ×
    ；
    ②若△ABC中，kA=1，则△ABC为直角三角形
    √
    √
    ；
    ③若△ABC中，kA＞1，则△ABC为钝角三角形
    √
    √
    ．

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    科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（四川绵阳卷）数学（解析版） 题型：解答题

    （2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

    （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；

    （2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

    （3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．

     

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