Question

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，OE，由CB、CD分别切⊙O于B、D两点，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得△ODE≌△OAE，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）首先易证得AE∥DF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF．

解答：证明：（1）连接OD，OE，
∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点，
∴∠ODE=90°，CD=CE，
∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，
∴AE=DE，
∵OD=OA，OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥DF∥BC，
∴△BMF∽△BEA，
∴

MF

AE

=

BF

BA

，
∴

CD

CE

=

BF

BA

=

CB

CE

，
∴

MF

AE

=

CB

CE

∵△EDM∽△ECB，
∴

CB

CE

=

DM

DE

，
∴

MF

AE

=

DM

DE

，
∴DM=MF．

点评：此题考查了切线的性质与判定，平行线分线段成比例定理，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．