Question

11．如图，在菱形OABC中，∠AOC=60°，OA=2$\sqrt{2}$，以点O为位似中心，相似比为$\frac{1}{2}$，将菱形OABC缩小，得到菱形OA₁B₁C₁；再以点O为位似中心，相似比为$\frac{1}{2}$，将菱形OA₁B₁C₁缩小，得到菱形OA₂B₂C₂；…，以此类推，则菱形OA₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆的面积为$\sqrt{6}$×（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³²．

Answer 1

分析 根据题意求出菱形0ABC的面积，根据相似多边形的性质求出菱形OA₁B₁C₁的面积、菱形OA₂B₂C₂的面积，总结规律得到答案．

解答 解：作CE⊥AB于E，
则CE=BC•sin∠B=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$，
菱形OABC的面积为AB×CE=4$\sqrt{3}$，
∵菱形OA₁B₁C₁与菱形OABC相似，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴菱形OA₁B₁C₁的面积为$\sqrt{6}$×（$\frac{1}{2}$）²，
∵菱形OA₂B₂C₂与菱形OA₁B₁C₁相似，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴菱形OA₂B₂C₂的面积为4$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）²×（$\frac{1}{2}$）²，
以此类推，则菱形OA₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆的面积为4$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³²=$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³⁰．
故答案为：$\sqrt{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³⁰．

点评 本题考查的是位似变换的性质以及菱形的性质，掌握位似的两个图形是相似图形、两个相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．