Question

如图，△ABC中，AB=AC，EF为过A的任一直线，CF⊥BC，BE⊥BC，求证：AE=AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过E作EQ⊥BE，交FC的延长线与Q，连接AQ，求出四边形BEQC是矩形，推出BE=CQ，∠FQE=90°，求出∠ABE=∠ACQ，根据SAS推出△ABE≌△ACQ，根据全等得出AE=AQ，求出∠AEQ=∠AQE，∠F=∠FQA，推出AF=AQ即可．

解答：证明：过E作EQ⊥BE，交FC的延长线与Q，连接AQ，

∵CF⊥BC，BE⊥BC，
∴∠EBC=∠BEQ=∠BCQ=90°，
∴四边形BEQC是矩形，
∴BE=CQ，∠FQE=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠BCQ=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
在△ABE和△ACQ中，

AB=AC ∠ABE=∠ACQ BE=CQ

，
∴△ABE≌△ACQ（SAS），
∴AE=AQ，
∴∠AEQ=∠AQE，
∵∠EQF=90°，
∴∠F+∠FQA=90°，∠FQA+∠EQA=90°，
∴∠F=∠FQA，
∴AF=AQ，
∴AE=AF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，正确作出辅助线是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．