Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=45°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为点F．

（1）当点F落在AB上时，求∠BCF的度数；

（2）若∠EBF=15°，求CF的长；

（3）当点E从点A运动到点B时，求点F运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）∠BCF=45°（2）2或2（3）

【解析】分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；

（2）分以下两种情况：①当点F在菱形内部时，②当点F在菱形外部时；

（3）首先确定点F的运动轨迹，利用弧长公式计算即可；

详解：（1）当点F落在AB上时，点E，F重合，即CF⊥AB．

∵∠ABC=45°，∴∠BCF=45°．

（2）分以下两种情况：

①当点F在菱形内部时，∠FBC=45°﹣15°=30°．在Rt△BFC中，BC=4，∠FBC=30°，sin30°==，∴CF=2；

②当点F在菱形外部时，∠FBC=15°+45°=60°．在Rt△BFC中，BC=4，sin60°==，∴CF=2．

故CF的长为2或2．

（3）如图，设BC的中点为点O，以点O为圆心，OB长为半径画半圆O，连

接 AC，BD交于点F′，易得点F′在半圆O上，连接OF′．

∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴点F在半圆O中的一段弧上运动，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径的长为的长．

∵∠ABC=45°，∴∠BCF′=67.5°，∴∠BOF′=135°，∴的长为=．