Question

如图，已知过坐标原点的抛物线经过A（x₁，0），B（x₂，3）两点，且x₁、x₂是方程x²+5x+6=0两根（x₁＞x₂），抛物线顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过解方程x²+5x+6=0求出x₁、x₂的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①当OA为边时，根据E在x=-1上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②OA为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设P（m，m²+2m），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是方程x²+5x+6=0的两根（x₁＞x₂），
解得原方程的两根分别是：x₁=-2，x₂=-3，
∴A（-2，0），B（-3，3），
设抛物线的解析式为，y=ax²+bx+c，则

c=0 4a-2b=0 9a-3b=3

，
解得：

a=1 b=2 c=0

，
∴抛物线的解析式是y=x²+2x．

（2）∵y=x²+2x，
∴对称轴为：x=-1，
①当OA为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE∥AO，DE=AO=2，
∵E在对称轴x=-1上，
∴D的横坐标是1或-3，
∴D的坐标是（1，3）或（-3，3），此时E的坐标是（-1，3）；
②当AO是对角线时，则DE和AO互相平分，有E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是-1，
由对称性知，符号条件的点D只有一个，即是顶点C（-1，-1），此时E（-1，1），
综合上述，符合条件的点E共由两个，分别是E（-1，3）或E（-1，1）．

（3）假设存在，设P（m，m²+2m），
∵B（-3，3），C（-1，-1），
∴OB²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²，
∴△OBC是直角三角形，∠COB=90°，

OB

OC

=3，
∵以P、M、O为顶点的三角形和△BCO相似，
又∵∠COB=∠PMO=90°，
∴

PM

OM

=

OB

OC

=3，或

PM

OM

=

OC

OB

=

1

3

，
∴|

m2+2m

m

|=3，|

m2+2m

m

|=

1

3

解得：m=1或-5或-

5

3

或-

7

3

，
∴存在P点，P的坐标是（1，3），（-5，15），（-

5

3

，-

5

9

），（-

7

3

，

7

9

）．

点评：本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．