Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．

（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；

（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，理由见解析；（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，理由见解析；（3）当∠EAC＝15°时，的值为或．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质、平行线的判定定理解答；
（2）在AF上截取AF=CD，连接EF，证明△EAF≌△EDC，根据全等三角形的性质得到EF=EC，∠AEF=∠DEC，根据平行线的判定定理证明；
（3）分图②、图③两种情况，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．

（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，

理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ADE＝45°，

∴∠CAB＝∠ADE，

∴CE∥AB；

（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，

理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，

∵∠AED＝∠ACB＝90°，

∴∠EAF＝∠EDC，

在△EAF和△EDC中，

，

∴△EAF≌△EDC（SAS），

∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，

∵∠AED＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴∠ECA＝45°，

∴∠ECA＝∠CAB，

∴CE∥AB；

（3）如图②，∠EAC＝15°，

∴∠CAD＝30°，

∴AD＝2CD，，

∴，

∵△CEF为等腰直角三角形，

∴，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴，

∴，

如图③，∠EAC＝15°，

由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，

∴∠ADC＝30°，

∴，

延长AC至G，使AG＝CD，

∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，

在△EAG和△EDC中，

，

∴△EAG≌△EDC（SAS），

∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，

∴∠CEG＝90°，

∴△CEG为等腰直角三角形，

∴，

∴，

综上所述，当∠EAC＝15°时， 的值为或．