Question

如图1，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=°，∠BOC=°

（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD,如图2所示. 求证：OD=OC。

（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示. 求证：OA=DE

（3）在（2）的基础上， 当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上。并直接写出AO+BO+CO的最小值。

Answer 1

（1）根据旋转的性质可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等边三角形，问题得证；（2）根据旋转的性质可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，则可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可证得△EAD≌△ABO，问题得证；（3）

解析试题分析：（1）根据旋转的性质可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等边三角形，问题得证；
（2）根据旋转的性质可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，则可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可证得△EAD≌△ABO，问题得证；
（3）根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=，即得∠CDE=，由△COD是等边三角形可得∠COD=∠CDO=60°，若点B、O、D、E在同一直线上，则∠BOC=∠CDE=120°，即，得 ，从而可以求得结果．
（1）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC
∴CO=CD，∠DOC=60°
∴△COD是等边三角形 
∴OD=OC；
（2）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC
△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC
∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC
∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC即∠DAE=∠OBA
∴△EAD≌△ABO  
∴OA=DE；
（3）∵△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO 
∴∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=
∴∠CDE=  
∵△COD是等边三角形 
∴∠COD=∠CDO=60°
若点B、O、D、E在同一直线上，则∠BOC=∠CDE=120°
即，得 
AO+BO+CO的最小值为．
考点：旋转问题的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.