Question

1．如图，△ABC，
（1）利用没有刻度的直尺和圆规，作出∠BAC的角平分线，交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AB、AC分别相交于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于$\frac{1}{2}$EF长为半径画弧相交于点G，连接AG并延长与BC相交于点D，AD即为∠BAC的平分线；
（2）过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M．先由平行线的性质及角平分线的定义得出∠M=∠CAD，由等角对等边得到AC=MC．再证明△ABD∽△MCD，得出$\frac{AB}{CM}$=$\frac{BD}{CD}$，由AC=MC，即可证明$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

解答 （1）解：如图，AD为∠BAC的平分线；


（2）证明：如图，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M．
∵CM∥AB，
∴∠BAD=∠M，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠M=∠CAD，
∴AC=MC．
∵AB∥CM，
∴△ABD∽△MCD，
∴$\frac{AB}{CM}$=$\frac{BD}{CD}$，
∵AC=MC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

点评 本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定与性质，关键是正确作出图形．